Интегральные теоремы Коши Теория ОС | Безопасность | Сетевые ОС | TCP/IP | Windows 2000 | Лок. сети | Интернет | Защита | Топология сети | Выч. сети Главная

Корпоративные ИС | Учебник КС | C++ | Архитектура ЭВМ | Local Area Network | Брандмауэры | Паскаль | Базы данных | SQL

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения, приводящиеся к однородным

  Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

  Это уравнения вида .

Если определитель  то переменные могут быть разделены подстановкой

где a и b - решения системы уравнений

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных  вида:

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0.

  Левую часть этого уравнения обозначим L(y). Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

 Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

  [an error occurred while processing this directive]

  Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

  Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.