Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Рассмотрим
уравнение вида 
С
учетом обозначения 
можно записать: Разложить данную функцию
в ряд Фурье
При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения 
в некоторой области
есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного
однородного дифференциального уравнения.
Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.
Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:
[an error occurred while processing this directive]
Пусть 
- фундаментальная система решений линейного однородн ого уравнения 
. Тогда общее решение
однородного уравнения можно записать в виде:
Далее покажем,
что сумма 
является общим решением неоднородного уравнения.
Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.
Уравнения, приводящиеся к однородным
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.
Это уравнения вида 
.
Если
определитель 
то переменные могут быть разделены подстановкой
где
a и b - решения системы уравнений 
|
||