Уравнения с правой частью специального вида.
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи: Продолжим функцию на отрезок 
нечетным
образом
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где
- многочлен
степени m.
Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
[an error occurred while processing this directive]
Пример.
Решить уравнение 
.
Решим
соответствующее однородное уравнение: 
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
Частное
решение ищем в виде: , где 
Т.е.
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
Итого, частное решение: 
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
Уравнения, приводящиеся к однородным
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.
Это уравнения вида 
.
Если
определитель 
то переменные могут быть разделены подстановкой
где
a и b - решения системы уравнений 
|
||