Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение 
Найти площадь фигуры, ограниченной
данными линиями: у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0; 
;
Указание. В этой задаче двойной интеграл удобнее вычислять в полярной системе
координат. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Характеристическое
уравнение: 
Общее
решение однородного уравнения: 
Частное
решение неоднородного уравнения: 
.
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
|
||