Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Обыкновенные дифференциальные уравнения Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади
с глубиной погружения
равна 
, где 
- плотность жидкости, 
- ускорение свободного
падения. Пример. Найти
решение системы уравнений 
Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).
Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:
Заменяя
значение z’ из второго
уравнения получаем: 
.
С
учетом первого уравнения, получаем: 
Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.
Общее
решение однородного уравнения: 
Теперь
находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле 
Общее решение неоднородного уравнения:
Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем: 
Пример. Найти решение системы уравнений:
Составим характеристическое уравнение:
1) k = -1.
Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем:
2) k2 = -2.
Если принять g = 1, то получаем:
3) k3 = 3.
Если принять g = 3, то получаем:
Общее решение имеет вид:
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
|
||