Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Т.е. можно сказать, что решение j(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ³ t0.
Если 
, то
решение j(t) называется асимптотически устойчивым. Обыкновенные
дифференциальные уравнения Найти
момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием
и высотой 
,
относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что
её поверхностная плотность равна 
(т.е. масса,
приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, 
,
где 
- площадь пластинки.
Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения 
системы 
можно свести
к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы,
которая получена из данной заменой неизвестных функций:
Тогда:
(2)
Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение 
Теорема. Решение
системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову
тривиальное решение системы (2).
Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Точка покоя 
системы
(2) устойчива по Ляпунову, если для любого 
такое, что из неравенства
следует
.
Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система
имеющая
тривиальное решение 
.
Пусть существует дифференцируемая функция 
, удовлетворяющая условиям:
1) ³0 и v = 0 только при у1
= у2 = … = уn =0, т.е. функция
v имеет минимум
в начале координат.
2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:
при
Тогда
точка покоя 
устойчива по Ляпунову.
Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности
начала координат 
выполнялось условие
где
b - постоянная величина, то точка покоя асимптотически устойчива.
Функция v называется функцией Ляпунова.
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
|
||