Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.
2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.
В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:
1)
Волновое уравнение: 
2)
Уравнение теплопроводности: 
3)
Уравнение Лапласа: 
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
|
||