,
лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0,5, х = 1, у =0,5,
причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по
внешней боковой стороне цилиндра ,
лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0,5, х = 1, у =0,5,
причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.
Требуется найти функцию 
, которая удовлетворяет уравнению Лапласа
и
при 
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
Полагаем
Подставляя
это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
Таким образом, имеем два уравнения:
Общее
решение первого уравнения имеет вид: 
Решение
второго уравнения ищем в виде: 
. При подстановке получим:
Общее
решение второго уравнения имеет вид: 
.
Подставляя полученные решения в уравнение 
, получим:
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.
[an error occurred while processing this directive]
Если k = 0, то 
следовательно 
.
Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно
получаем: 
При
этом: 
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
|
||