была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для
любого 
существовал такой номер N,
что при n > N и любом p
> 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Найти формулу вычисления объема шара. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для
любого существовал такой номер N,
что при n > N и любом p
> 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть
, тогда для
любого числа найдется номер N такой,
что неравенство
выполняется при n>N. При n>N и любом
целом p>0 выполняется также неравенство 
. Учитывая оба неравенства,
получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
[an error occurred while processing this directive]
Для того, чтобы ряд 
был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для
любого существовал номер N такой,
что при n>N и любом p>0 выполнялось
бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд 
сходится,
то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным.
Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно
расходится. Например, так называемый гармонический ряд 
является расходящимся,
хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
Найдем
- необходимый
признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 
при любом n.
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
|
||