с неотрицательными членами необходимо и достаточно,
чтобы частные суммы ряда были ограничены.Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессыПри изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно,
чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть
даны два ряда и 
при un, vn ³ 0.
Теорема. Если un £ vn при
любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости
ряда следует расходимость ряда
Доказательство. Обозначим через Sn и
sn частные суммы
рядов
и . Т.к. по
условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при
всех n sn <
M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к.
, а гармонический
ряд 
расходится, то расходится и ряд 
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к.
, а ряд 
сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд 
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема.
Если 
и
существует предел 
, где h – число,
отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
Теорема о вычетах
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
|
||