и несобственный интеграл 
одинаковы в смысле сходимости.Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Математическая логика Математика лекции примеры решения задач
Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на
промежутке [1;¥), то ряд j(1) +
j(2) + …+ j(n)
+ … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Ряд 
сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл 
сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд 
называется общегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные
функции на интервале (a, b] и 
то интегралы 
и 
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
|
||