Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Интегралы Математика лекции примеры решения задачОпределение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости.
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(e, x), такой, что неравенство
выполняется при n>N.
При выбранном значении e>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство
выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].
Пример. Рассмотрим последовательность 
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.
Построим графики этой последовательности:
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
|
||