Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
Решение уравнения
будем
искать в виде 
при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
Пример. Найти решение уравнения 
c начальными условиями y(0)=1,
y’(0)=0.
Пределы Математика
лекции примеры решения задач
Решение
уравнения будем искать в виде 
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
Отсюда получаем: 
………………
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:
Окончательно
получим: 
Итого:
[an error occurred while processing this directive]
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
Если заданные
начальные условия y(0)=1, y’(0)=0
подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим,
что 
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде 
и будем последовательно
дифференцировать его по х.
После подстановки полученных значений получаем:
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
|
||