Решение уравнения
будем
искать в виде 
при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
Векторная алгебра Математика лекции примеры решения задачТеорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке
[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-p;p] можно разбить
на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x)
монотонна, то ряд Фурье для функции f(x)
сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x)
его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна 
, т.е. среднему арифметическому
предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит
интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме
того, f(x) и ее производная f’(x)
– непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода
на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x)
сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x),
а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x)
сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности
функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-p;p].
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
|
||