Решение уравнения
будем
искать в виде 
при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
Криволинейные интегралы Математика лекции примеры решения задач
Функция f(z), аналитическая в круге 
, разлагается в сходящийся к ней степенной
ряд по степеням (z – z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце 
. Эта функция
может быть представлена в виде сходящегося ряда:
[an error occurred while processing this directive]
Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:
Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана.
Если предположить, что r = 0, то можно
считать, что функция аналитична в открытом круге 
за исключением
центральной точки z0. Как правило,
в этой точке функция бывает не определена.
Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.
Рассмотрим следующие частные случаи:
1) Функция f(x) имеет вид: 
. Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга,
то его сумма f1(x) определена
и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре
круга z0.
В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.
В этом случае 
для любого контура L, содержащего
точку z0 и принадлежащего
к кругу .
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
Решение уравнения
будем
искать в виде при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
|
||