Пример. Решить уравнение 
Решаем
линейное однородное уравнение 
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Пример. Решить уравнение
Решаем
линейное однородное уравнение
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
2)
Функция f(x) имеет вид: 
. Степенные
ряды Математика лекции примеры решения задач
В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.
Порядок полюса может быть определен по формуле:
z0 – полюс порядка т.
3) Функция f(z) имеет вид 
, где в ряду 
не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k.
В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую точку.
Определение. Пусть z0 – изолированная
особая точка функция f(z), т.е. пусть
функция f(z) – аналитическая в некотором круге 
из которого исключена
точка z0. Тогда
интеграл
называется
вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки
и содержащей в себе точку z0.
Вычет также обозначают иногда 
.
Если 
есть
ряд Лорана функции f в точке
z0, то 
.
Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.
В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.
Например, если функция 
, а 
имеет простой нуль при z =
z0 
, то z = z0 является
простым полюсом функции f(z).
[an error occurred while processing this directive]
Тогда можно показать, что вычет находится по формуле
Если z = z0 – полюс порядка m ³ 1, то вычет может быть найден по формуле:
Пример. Найти вычет функции 
относительно точки z =
2.
Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
Решение уравнения
будем
искать в виде 
при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
|
||