Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Вычисление пределов Математика лекции примеры решения задач
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Пример. Вычислить определенный интеграл 
.
[an error occurred while processing this directive]
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка.
Найдем вычет функции 
Получаем 
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
Решение уравнения
будем
искать в виде 
при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
|
||