Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.
Правило Лопиталя Математика лекции примеры решения задачТеорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула
где t0 – некоторая точка.
Определение. Выражение 
называется сверткой функций f1(t) и f2(t) и обозначается f1* f2.
Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .
Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский
математик)). Если 
, то верно равенство
Для нахождения изображений различных функций наряду с непосредственным интегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.
Пример. Найти изображение функции 
.
Из
таблицы изображений получаем: 
.
По
свойству интегрирования изображения получаем: 
[an error occurred while processing this directive]
Пример. Найти изображение функции 
.
Из
тригонометрии известна формула 
.
Тогда
=
.
Операционное исчисление используется как для нахождения значений интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.
Из теоремы о дифференцировании
оригинала {
} можно сделать
вывод, что 
Тогда 
Обозначим 
Получаем: 
Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или операторным уравнением.
Отсюда получаем изображение 
, а по нему и искомую функцию x(t).
Изображение получаем в виде: 
[an error occurred while processing this directive]
Где
Этот многочлен зависит
от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула
принимает вид:
Рассмотрим применение этого метода на примерах.
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
Решение уравнения
будем
искать в виде 
при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
|
||