Решение дифференциальных уравнений методом Лагранжа
Пример. Решить уравнение В
этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим Разделим
уравнение на xy2: Полагаем
Примеры
решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Если в каждой точке М определенной пространственной
области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят,
что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).
.
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли.
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Вычисление
площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы
, лежащих внутри цилиндра
. Интегральное
исчисление функции нескольких переменной.
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения
двух функций 
.
При этом очевидно, что 
- дифференцирование по частям.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Например, функция 
может быть представлена
как 
и т.п.
Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что
выражение 
.
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим
поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно
нулю.
Интегрируя, можем найти функцию v:
; 
;
Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем:
Окончательно получаем формулу:
, С2 - произвольный коэффициент.
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Пример. Решить уравнение 
Решаем
линейное однородное уравнение 
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
|
||