Решение дифференциальных уравнений методом Лагранжа
Пример. Решить уравнение В
этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим Разделим
уравнение на xy2: Полагаем
Примеры
решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Если в каждой точке М определенной пространственной
области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят,
что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).
.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется
уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет
собой полный дифференциал некоторой функции 
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего
решение легко находится в виде: 
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;
2)
как найти эту функцию. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
. Решение. Сведем
предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:
Если
дифференциальная форма 
является полным дифференциалом некоторой функции u,
то можно записать:
Т.е.
.
[an error occurred while processing this directive]
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:
Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.
Проинтегрируем
равенство 
:
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром.
Определим функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по у.
Откуда
получаем: 
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.
Теперь определяем функцию С(у):
Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Пример. Решить уравнение 
Решаем
линейное однородное уравнение 
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
|
||