.
Уравнения, приводящиеся к однородным
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.
Это уравнения вида .
Если
определитель 
то переменные могут быть разделены подстановкой
где
a и b - решения системы уравнений 
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное
уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого
являются функциями от y’. Найти
общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только
от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного
интегрирования: Обыкновенные дифференциальные уравнения
.
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
Дифференцируя
это уравнение,c учетом
того, что 
,
получаем:
Если
решение этого (линейного относительно х) уравнения есть 
то общее решение уравнения
Лагранжа может быть записано в виде:
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции
и аргумента вида:
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С
учетом замены 
, уравнение принимает вид:
Это уравнение имеет два возможных решения:
или 
В первом случае: 
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
Исключая параметр р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом.
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример. Решить уравнение 
Решаем
линейное однородное уравнение 
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
|
||