Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

ЗАДАНИЕ №24

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

 Тройным интегралом от функции  по области Ư называется предел интегральной суммы при условии, что

, где d- диаметр частичной области разбиения

 Для непрерывной в области U функции этот предел существует и не зависит от способа разбиения области U на элементарные и от выбора точек Рк (теорема о существовании тройного интеграла).

 Если  в области U, то тройной интеграл  физически есть масса тела, занимающего область U и имеющего переменную плотность

 В частности, если , то тройной интеграл определяет объем области U,т.е.

dU – элемент объёма.

 Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

 В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:

Вычисление тройного интеграла

 Пусть область интегрирования U определяется неравенствами:

Где y1(x), y2(x), z1( x, y), z2(x, y) – непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции  по области U вычисляется по формуле:

 Интеграл стоящий в правой части формулы называется трехкратным. Он принципиально мало чем отличается от двукратного, добавляется лишь интегрирование еще по одной переменной.

Пример 1. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного

 поверхностями

z=0, z=4-y2, x2=2y.

 Решение: Данное тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью z=4-y2 с образующими, параллельными оси ОХ, снизу плоскостью z=0 ( координатная плоскость ХОУ ).

 

 Эти поверхности

 пересекаются по

 прямым:

 у = -2 и у = +2

 Тело U ограничено также цилиндрической поверхностью x2=2y с образующими, параллельными оси OZ

  

 Поверхности, пересекаясь, образуют замкнутое тело, которое проецируется в область Д

плоскости ХОУ

   

 Для вычисления объёма воспользуемся формулами. Пределы интегрирования по Х и У расставятся в соответствии с областью Д (как в двухкратном интеграле), а пределами интегрирования по Z будут:

Получим 

Ответ:

Машиностроительное черчение выполнение четежей