Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси
, отрезка оси 
и
отрезка АВ прямой
а) На оси 
, значит 
. Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке 
.
Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего
значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах
отрезка. Определим точку стационарности 
.
Определим значение функции при 
и на концах отрезка [-5,0]
б) На оси 
значит 
в) Исследуем функцию z на отрезке AB. Уравнение АВ 
, значит 
Сравним теперь значение z в стационарной точке (-2,-1) с наибольшими
и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.
, получаем, что
наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке 
,
а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).
21.2 Стационарные точки 
находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего
значения функция достигает на границе области в точке 
, а 
. Наименьшего значения функция достигает в точке 
,
а 
.
21.3 Обозначим стороны треугольника
и 
. По формуле Герона площадь треугольника 
, так как 
- полупериметр, то 
и 
становится функцией не трёх, а только двух переменных
Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции будем искать экстремум
её квадрата 
. Находим стационарные точки 
. Исследованию подлежит только одна точка 
, так как остальные точки не удовлетворяют
смыслу задачи(не может быть треугольника, у которого сторона равна половине
периметра).
Проверяем точку М. В ней функция достигает максимума. Итак, при 
Так как 
, то треугольник равносторонний.
22.1 
22.2 Градиент функции Z и производная по направлению a 
связаны формулой 
- то есть производная по направлению
равна проекции вектора-градиента на вектора.
В нашем случае 
23.1 Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив
систему
можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий,
ограничивающих область пересечения.
Точки пересечения 
и 
. Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок
интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по 
, а внутренний по 
. Заметим, что в пределах изменения
от -1 до 8 область
интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху –
двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на две
и 
. Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Область
ограничена сверху
и снизу ветвями параболы 
и 
, а область снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой 
(при 
).
23.2 По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат.
Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно и относительно . Биссектрисы координатных углов
и 
также являются осями симметрии кривой. Найдём
точки пересечения с осями. При 
, 
получим две точки пересечения с осью 
и 
.
Аналогично при 
получим 
, 
. Добавим точки при 
Построим кривую
Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную
ось вдоль оси , а полюс в начало координат.
При решении геометрических и физических задач во многих случаях для
упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется
к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных
координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными
координатами соотношениями
x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле
Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из
полюса,
φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ=
ρ1(φ) и ρ= ρ2(φ), где ρ1(φ)≤ρ2(φ),
то что двойно интеграл вычисляется по формуле
, где F(ρ,
φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется
интеграл 
, в котором
φ считается постоянным.
Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ,
y= ρsinφ.
Получим
- уравнение линии
в полярных координатах.
В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:
По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы
интегрирования по φ будут от 0 до 
, а пределы интегрирования по ρ:
Итак
=
.