Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси
, отрезка оси
и
отрезка АВ прямой

а) На оси
, значит
. Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке
.
Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего
значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах
отрезка. Определим точку стационарности
.
Определим значение функции при
и на концах отрезка [-5,0]

б) На оси
значит 


в) Исследуем функцию z на отрезке AB. Уравнение АВ
, значит




Сравним теперь значение z в стационарной точке (-2,-1) с наибольшими
и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.

, получаем, что
наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке
,
а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).
21.2 Стационарные точки
находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего
значения функция достигает на границе области в точке
, а
. Наименьшего значения функция достигает в точке
,
а
.
21.3 Обозначим стороны треугольника
и
. По формуле Герона площадь треугольника
, так как
- полупериметр, то
и
становится функцией не трёх, а только двух переменных

Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции будем искать экстремум
её квадрата
. Находим стационарные точки

. Исследованию подлежит только одна точка
, так как остальные точки не удовлетворяют
смыслу задачи(не может быть треугольника, у которого сторона равна половине
периметра).
Проверяем точку М. В ней функция достигает максимума. Итак, при 
Так как
, то треугольник равносторонний.
22.1 

22.2 Градиент функции Z и производная по направлению a
связаны формулой
- то есть производная по направлению
равна проекции вектора-градиента на вектора.
В нашем случае 
23.1 Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив
систему

можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий,
ограничивающих область пересечения.




Точки пересечения
и
. Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок
интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по
, а внутренний по
. Заметим, что в пределах изменения
от -1 до 8 область
интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху –
двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на две
и
. Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Область
ограничена сверху
и снизу ветвями параболы
и
, а область
снизу ограничена ветвью параболы
, а сверху прямой
(при
).

23.2 По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат.
Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно
и относительно
. Биссектрисы координатных углов
и
также являются осями симметрии кривой. Найдём
точки пересечения с осями. При
,
получим две точки пересечения с осью
и
.
Аналогично при
получим
,
. Добавим точки при 

Построим кривую

Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную
ось вдоль оси
, а полюс в начало координат.
При решении геометрических и физических задач во многих случаях для
упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется
к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных
координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными
координатами соотношениями
x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из
полюса,
φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ=
ρ1(φ) и ρ= ρ2(φ), где ρ1(φ)≤ρ2(φ),
то что двойно интеграл вычисляется по формуле
, где F(ρ,
φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется
интеграл
, в котором
φ считается постоянным.
Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ,
y= ρsinφ.
Получим


- уравнение линии
в полярных координатах.
В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы
интегрирования по φ будут от 0 до
, а пределы интегрирования по ρ:


Итак
=

.