Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси , отрезка оси и отрезка АВ прямой

а) На оси , значит . Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке . Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах отрезка. Определим точку стационарности .

Определим значение функции при  и на концах отрезка [-5,0]

 

б) На оси   значит 

 

  

в) Исследуем функцию z на отрезке AB. Уравнение АВ , значит   

 

 

 

Сравним теперь значение z в стационарной точке (-2,-1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.

, получаем, что наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке , а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).

21.2 Стационарные точки  находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего значения функция достигает на границе области в точке , а . Наименьшего значения функция достигает в точке , а .

 21.3 Обозначим стороны треугольникаи . По формуле Герона площадь треугольника , так как - полупериметр, то  и  становится функцией не трёх, а только двух переменных

Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции будем искать экстремум её квадрата . Находим стационарные точки   . Исследованию подлежит только одна точка , так как остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи(не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра).

Проверяем точку М. В ней функция достигает максимума. Итак, при

Так как , то треугольник равносторонний.

22.1

 

22.2 Градиент функции Z и производная по направлению a  связаны формулой - то есть производная по направлению равна проекции вектора-градиента на вектора.

В нашем случае

23.1 Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив систему

можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий, ограничивающих область пересечения.

  

 

Точки пересечения и . Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по , а внутренний по . Заметим, что в пределах изменения  от -1 до 8 область интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху – двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на две  и . Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Область   ограничена сверху и снизу ветвями параболы  и , а область  снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой  (при ).

23.2 По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат. Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно  и относительно . Биссектрисы координатных углов  и  также являются осями симметрии кривой. Найдём точки пересечения с осями. При  ,  получим две точки пересечения с осью   и .

Аналогично при  получим , . Добавим точки при

Построим кривую

Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную ось вдоль оси , а полюс в начало координат.

При решении геометрических и физических задач во многих случаях для упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса,

φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ= ρ1(φ) и ρ= ρ2(φ), где ρ1(φ)≤ρ2(φ), то что двойно интеграл вычисляется по формуле

, где F(ρ, φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется интеграл , в котором φ считается постоянным.

 


Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ, y= ρsinφ.

Получим

 - уравнение линии в полярных координатах.

В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы интегрирования по φ будут от 0 до , а пределы интегрирования по ρ:

Итак

=

.

Машиностроительное черчение выполнение четежей