- Определение первообразной и её свойства Пусть функция
задана на некотором интервале 
. Если найдётся такая функция 
, что при всех 
имеет место равенство
то функция
называется первообразной для функции
.
- Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
- Свойства неопределённого интеграла
- О "неберущихся" интегралах
- Приближённое нахождение первообразных
- Приближённое нахождение корней уравнений
-
Изменить порядок интегрирования.
Вычислить.
Объём
цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой
области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у),
причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя
объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена
поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая,
образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы
L области D. Примеры решения и офомления задач контрольной работы
по высшей математикеВычислить:
Задача вычислить:
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х
Нахождение неопределённых интегралов
- Интегрирование некоторых классов функций при помощи
элементарных преобразований
Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Рассмотрим интегралы, подынтегральная функция в которых содержит квадратный трёхчлен
, где 
-- некоторые постоянные, вида (Заметим, что в числителе дроби должно стоять линейное выражение
и 
, где 
и 
-- постоянные; при этом какой-либо из постоянных не запрещается быть равной
0.) - Формула понижения степени
- Рациональные функции и их интегрирование
- Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
- Интегралы от функций, рациональным образом зависящих
от
и 
Определённый интеграл и его свойства
- Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной
трапеции Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области
, ограниченной на координатной плоскости 
отрезком ![$ [a;b]$](/arf4/images/img1317.png)
оси 
, графиком непрерывной функции 
, заданной на отрезке
, и двумя отрезками вертикальных прямых 
и 
, соединяющими точки оси
с точками графика - Свойства определённого интеграла
- Интеграл с переменным верхним пределом
- Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами
- Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов
- Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте
площади части круга Напомним, что выше мы проверили, что формула действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия
-- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит
другому издавна известному нам случаю площади: когда линия
-- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы
для площади круга (напомним, она равна 
для круга радиуса 
Несобственные и определенные интегралы
- Несобственные интегралы первого рода
- Свойства несобственных интегралов первого рода
- Несобственные интегралы второго рода
- Свойства несобственных интегралов второго рода
- Несобственные интегралы с несколькими особенностями
Рассмотрим функцию
и такой промежуток
, на котором
имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности
имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые
разрывы11, а также в 
и 
, если они являются концами рассматриваемого промежутка 
.
- Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников
Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить
их площадями
прямоугольников, основанием которых служит отрезок ![$ [x_{i-1};x_i]$](/arf4/images/img1339.png)
на оси
, а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания,
то есть либо в точке 
, либо в точке 
. Тогда в первом случае площадь
равняется 
, а во втором 
. - Квадратурная формула центральных прямоугольников
- Квадратурная формула трапеций
- Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников
- Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
- Квадратурные формулы более высокого порядка точности
- Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул
- Площадь области, лежащей между двумя графиками
Пусть
и
-- две непрерывные функции, заданные на отрезке
, причём 
при всех ![$ x\in[a;b]$](/arf4/images/img1404.png)
. Между графиками
и 
лежит область
, с боков ограниченная отрезками прямых
и
. - Площадь в полярных координатах
- Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
- Вычисление длины плоской линии
- Площадь поверхности вращения Рассмотрим линию
в плоскости
, представленную как график функции
на отрезке
оси
. Предположим, что функция
имеет на отрезке
непрерывную производную 
. Пусть поверхность
получена как результат вращения в пространстве 
линии
вокруг оси
(см. рис.). Наша цель -- найти площадь 
поверхности вращения
(сделанное построение и полученная при этом формула будут одновременно служить
и определением того, что такое площадь поверхности
).
Функции нескольких переменных и их дифференцирование
- Открытые и замкнутые области
в
Определение 7.1
Функцией нескольких переменных будем называть
любую функцию 
с вешественными значениями, область определения которой 
-- подмножество 
-мерного пространства
, 
. Таким образом, это функция, аргументами которой служат точки
-- - Связные множества
- График функции нескольких переменных
- Пределы функций нескольких переменных
- Непрерывность функции
- Ограничения функции на данное множество
- Свойства функций, непрерывных в области
- Частные производные
- Частные производные высших порядков
- Дифференцируемость функции и дифференциал
- Связь дифференциала с частными производными
- Производная сложной функции
Пусть
-- область в 
, в которой заданы
функций 
, 
. Предположим, что все значения вектор-функции лежат в области
, в которой задана функция
. Тогда можно определить композицию (или сложную функцию)
: - Инвариантность дифференциала
- Равенство смешанных частных производных
- Теорема о неявной функции
- Производные неявно заданной функции
- Выпуклые множества и функции
- Касательная плоскость к графику функции
- Приближённые вычисления с помощью дифференциала
- Определение градиента и стационарных точек функции
Определение 8.1
Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть
вектор называется градиентом функции
, вычисленным в точке 
. Градиент 
обозначается также 
и 
. - Производная по направлению
- Свойства градиента и производной по направлению
- Вывод формулы Тейлора Предположим, что в рассматриваемой
области
функция
имеет все частные производные до порядка
включительно. Рассмотрим прямую 
, соединяющую фиксированную внутреннюю точку 
с произвольной точкой 
и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего
с
, также принадлежат 
: 
при ![$\displaystyle t\in[0;1].$](/arf4/images/img4048.png)
- Матрица Гессе
магнетон
Бора Цифровая радиосвязь
Элементы математической логики, булевы
функции
| ||