Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

 

ЗАДАНИЕ №17

Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов.

Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях:

отрезок интегрирования [a,b] конечен

подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна

При таких предположениях интеграл называется собственным интегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется несобственным интегралом.

Несобственный интеграл с бесконечными пределами.

Пусть функция f(x) в промежутке  непрерывна. Интегралом от f(x) в пределах между   называется предел интеграла, взятого от , т.е.

Это несобственный интеграл.

Если конечный предел в правой части существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x)- интегрируемой на . Если этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл  

 для любого a.

Пример 1. Вычислить

а) p¹1


Пример 2. Вычислим несобственный интеграл  или покажем, что он расходится.

 Решение: Найдем неопределённый интеграл

Итак, предел существует, значит, несобственный интеграл I сходится и равен 

Интеграл 2-го рода.

Если в интеграле  функция f(x) неограниченно возрастает, то есть  когда x приближается к одному из пределов интегрирования. Когда это происходит при x®a, то .

Если подынтегральная функция перестаёт быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например в точке с то эту точку вырезают:

Пример 3. Вычислим 

Решение: Когда x®2 подынтегральная функция . Точка x=2 особая.

То есть интеграл расходящийся.

Подробнее с несобственными интегралами можно ознакомиться в[1]гл.XIV, [4] гл.11 и найти задачи на эту тему в [3] гл.10

Решите самостоятельно следующие задачи. Вычислить интегралы:

Машиностроительное черчение выполнение четежей