Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Замена переменной под знаком интеграла.

Пример 3. Найти: А) ;

 Б) .

Решение: Воспользуемся методом замены переменной. Если

Здесь мы заменили переменную х выражением через t, а dx на.

а) Найдем . Для этого обозначим  через t, тогда

Видим что выражение справа – это часть подынтегрального выражения, то есть

Это пример основан на выделении дифференциала новой переменной. Такой вариант метода замены переменной называют «подведением» под знак дифференциала, то есть при

подынтегральная функция является функцией промежуточной переменной умноженной на дифференциал этой переменной:

Иногда удобнее действовать иначе. В случае:

 б) имеем иррациональную подынтегральную функцию. Чтобы избавиться от этой иррациональности, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Для того, чтобы перейти к тригонометрическому виду сделаем замену переменной. Положим

.

Стало быть

.

Тогда

.

Для того чтобы избавиться от степени тригонометрической функции, перейдем к двойному углу.

 Имеем

Перейдем обратно к переменной х

Интегрирование рациональной функции.

Пример 4. Найти: А) ,

 Б)

Решение: Как в примере А), так и в примере Б) подынтегральная функция является рациональной дробью, то есть дробью вида

,

где P и Q многочлены степени соответственно m и n.

А) Степени числителя и знаменателя совпадают и равны 3. В этом случае, поделив числитель на знаменатель как многочлен на многочлен, получим сумму многочлена и остатка деления – правильной рациональной дроби. Интегрирование многочленов не сложно, а правильная рациональная дробь раскладывается на сумму дробей стандартного вида – так называемых «простейших» дробей, то есть дробей вида

.

Интегралы от этих дробей известны. Итак, разделим числитель подынтегрального выражения на знаменатель как многочлен на многочлен.

 

 

Таким образом, в результате деления мы получим частное, равное 1 и остаток равный (-х + 4). Итак, неправильную дробь можно разложить следующим образом

 , то есть

в виде суммы многочлена нулевой степени и правильной дроби. Теперь правильную дробь надо разложить на простейшие. У нас знаменатель уже разложен на множители

Так бывает не всегда. Если это не так, его надо разложить на множители и в соответствии с ними разложить вашу правильную дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов:

Приведя к общему знаменателю, получаем:

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях неизвестного. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочлена в левой части и многочлена в правой, получим:

Приравняв коэффициенты при

Решив совместно эти уравнения, получим

 А = 4, В = -4, С = -1

Итак , а 

Следовательно,

Заметим, что если- действительный корень знаменателя кратности k, то в разложении ему будут соответствовать k простейших дробей вида . В нашем примере многочлен, стоявший в знаменателе рациональной дроби, имеет один действительный корень  = 0 кратности единица – следовательно, в разложении рациональной дроби на сумму простейших этому корню соответствует одно слагаемое.

 Если знаменатель имеет комплексные корни, то только попарно сопряженные, так как коэффициенты знаменателя вещественны. Пусть знаменатель кратности  имеет комплексно сопряженные корни кратности . Тогда в разложении на простейшие дроби им будут соответствовать  простейших дробей вида

 ,

где

В нашем примере такие комплексные корни имел двучлен . Действительно, приравняв его к нулю, получим <0 – а это означает, что действительных корней нет,  комплексно сопряжённые корни кратности 1.

Б) Найдем . Не всегда следует стремиться сразу, определить правильность дроби и разлагать ее на простейшие. В этом задании рациональную дробь можно проинтегрировать без привлечения этого метода.

Подынтегральное выражение равно . Конечно, можно воспользоваться тем, что это неправильная рациональная дробь и проинтегрировать ее, разлагая на сумму многочлена и простейших дробей. Однако, если сделать замену переменой , получим:

В каждом примере на интегрирование результат можно проверить. Достаточно продифференцировать ответ. Если интегрирование было верно, то получится подынтегральное выражение.

Мы получили подынтегральную функцию.

Машиностроительное черчение выполнение четежей