Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Электронная цифровая подпись http://ruos.ru/

 ЗАДАНИЕ №15

Далее в контрольных работах любой специальности следует задача на интегрирование. Подробнее о неопределенных интегралах можно прочесть в [4] гл.10 и в[1] гл XII

Функция f(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке x, если

 

Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом от функции f(x)

где С – произвольная постоянная

Свойства неопределенного интеграла.

1. Если a – постоянная величина, то , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

3. , т.е. знак дифференциала d и знак интеграла взаимно уничтожаются в указанном порядке.

4. знаки d и взаимно погашаются и в таком порядке, лишь следует добавить произвольную константу.

Основная таблица интегралов.

Непосредственное интегрирование.

Пример 1. Найти .

В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Решение : Положим

a=3e

на основании свойств показательной функции и по таблице интегралов получаем:

Интегрирование по частям.

Пример 2. Найти интеграл:

Решение : Используем метод интегрирования по частям, основанный на следующем свойстве интегралов:

Очевидно, что применять эту формулу имеет смысл только в том случае, если интеграл в правой части проще, чем в левой, например:

Если подынтегральное выражение слева содержит сомножитель

arcsin x, arcos x, arctg x, ln x

то в качестве u(x) выбирают эти функции.

Если подынтегральная функция имеет вид

,

где- многочлен степени “n”.

Тогда в качестве u(x) берут P(x) и интегрируют по частям n раз. В нашем примере подынтегральное выражение имеет вид

,

Где  - многочлен первой степени х.

Итак, мы должны взять

При промежуточном интегрировании постоянную С опускаем.

Затем отыскиваем интеграл в правой части при

 и 

По интегрированию по частям получаем:

.

Машиностроительное черчение выполнение четежей