Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

ЗАДАНИЕ №16

Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например:

Пример 1. Вычислить определенный интеграл 

Решение: Определенный интеграл от любой непрерывный функции f(x) вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

где F(x) – первообразная для f(x).

Геометрически определенный интеграл  представляет собой при  площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ox и прямыми x=a и x=b.

Проинтегрируем сначала соответствующий неопределенный интеграл по частям, положив u=x, dv=sin x dx.

И по формуле Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2. Найти

Решение: Находя первообразную с помощью замены переменной при вычислении определенного интеграла, не следует забывать, что, изменив переменную, придется изменить и ее пределы интегрирования.

Обозначим , тогда , , но при x=0, t=0, а при x=4, t=2. Следовательно, в новом интеграле, относительно переменной t изменяются пределы интегрирования:

но так как dt=d(t+1)

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Площадь фигуры типа для которой , то есть, для правильной в направлении оси  фигуры на рисунке находятся по формуле

 

 

  

 

Для фигуры, правильной относительно оси  на рисунке , то есть фигуры, которая ограничена

площадь находится по формуле

 

Решение: Решая совместно систему уравнений

найдем абсциссы точек пересечения наших кривых следовательно, пределы интегрирования будут равны a=-1, b=0. Поскольку наша фигура является правильной, как относительно , так и относительно , можно считать ее площадь по первой и по второй формуле. Будем считать по первой.

Тогда

Подробнее об определённых интегралах можно прочесть в [1] гл.XIII, [4] гл.11 и найти похожие задачи в [3] гл.10

Самостоятельно решите следующие задачи:

Вычислить:

Машиностроительное черчение выполнение четежей