1.8.1. Понятия конформного отображения в пространстве
Теорема 7. Пусть функция W=f(n
) имеет в точке n
0 производную f’(n
0), отличную от нуля и от корней из нуля,
то есть 
.
Тогда эта функция реализует в точке конформные отображения. Это значит, что при
переходе из пространства (n ) в пространство (W)
касательная к любой гладкой кривой в фиксированной точке n
0 поворачивается на один и тот
же угол в пространстве и имеет один и тот же коэффициент растяжения.
Доказательство. Пусть в некоторой области
пространства (n ) Определенный интеграл как
функция верхнего предела Производная определенного интеграла по верхнему
пределу в точке x равна значению подынтегральной
функции в точке x. Отсюда следует, что функция 
является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая
принимает в точке x=a значение, равное нулю.
задана функция 
,
дифференцируемая в точке n 0 и
(неравна корням из нуля).
Рассмотрим
уравнение гладкой кривой g в пространстве в виде n
=S(t), где t
- параметр, меняющийся вдоль этой кривой, проходящий через точку 
.
Проведем касательную к этой кривой в точке n 0.
Положение касательной в пространстве (ее наклоны к координатным плоскостям) характеризуется
углами f 0, y
0.
Пусть g
’ – образ этой кривой, полученный при отображении
,
иными словами 
Дифференцируем сложную функцию
по условию
тогда
обозначим 
.
Пусть 
Тогда из соотношения производной для сложной функции имеем
 | (1.67.) |
Величину 
условимся
называть комплексным углом поворота кривой g в точке
n 0 при отображении
.
Из формулы (1.64.) следует, что если 
то угол поворота в точке n 0
не зависит от кривой и равен 
иначе говоря, все гладкие кривые, проходящие через точку n
0 поворачиваются при отображении на один
и тот же угол, равный аргументу производной в этой точке.
3амечание 1. Единственность касательной к гладкой пространственной кривой известна из дифференциальной геометрии.
Замечание
2. В случае, если 
то имеем дело с четырехмерным пространством, доказательство в котором аналогично.
Замечание 3. Постоянство коэффициента растяжения
в точке доказывается стандартным образом как и в случае z-плоскости. Он равен
.
Таким образом, здесь речь идет о подлинном отображении, конформном в трехмерном и более высокого числа измерений пространстве.
Рассмотрим теперь некоторые конкретные отображения.
А. Дробно-линейная функция
 | (1.68.) |
где a, b, c, a - комплексные пространственные переменные
при 
Если 
,
то 
существует при 
и 
Уравнение однозначно разрешимо относительно n
и функция определена в пространстве (w ).
В точке 
функция равна 
,
а в точке , 
Таким образом, дробно-линейная функция осуществляет отображение пространства n на пространство w .
Функцию (1.65.) можно представить в виде
Рассмотрим отображение, которое является основой
где r , f , y - действительные числа.
Тогда
Если y - комплексное, то
где
Тогда и n 2 будет иметь вид
Проведем преобразования
Знаменатель 
где
Таким образом,
где y - комплексное.
Итак,
если 
,
то
Таким образом лучи в пространстве (n ), идущие под углами f , y , поворачиваются и проходят под углами -f , -y .
Отображение обладает свойством инверсии (рис. 34.)
Для доказательства можно рассмотреть сечения плоскостями f =const и проекцию на плоскость (z).
Рис. 34. Инверсия точек в комплексном пространстве.
В. Отображение шара в шар. Рассмотрим дробно-линейную функцию следующего вида:
 | (1.69.) |
где a, b - действительные числа.
Если a=z+js , то
Рассмотрим "сечения":
a) b =0, y =0, a=a1,
тогда
то есть имеем круг в соответствующем сечении;
б) при a=0, f =0, a=a2, имеем
это снова круг.
Замечание. Аналогично тому, как это сделано в [7] для плоского случая, можно показать, что подмножество дробно-линейных преобразований дающих отображение шара на себя, является множеством движений пространства Лобачевского (если шар с выколотой осью назвать пространством Лобачевского).
Проведем выкладки, связанные с этим отображением, более детально:
Распишем числитель этого выражения А
а также знаменатель B
C. Отображение верхнего полупространства на единичный шар. Функция (рис. 35)
где 
отображает верхнее полупространство на внутреннюю
область, ограниченную единичной сферой, причем точка w
переходит на плоскости в точку 
Рис. 35. Отображение верхнего полупространства в полное пространство
Доказательство. Достаточно показать, что всякая точка плоскости (z) переходит при указанном отображении на поверхность единичной сферы. В самом деле
В общем виде отображение записывается в виде
где a, b - любые действительные числа.
Д. Функция Жуковского.
Рассмотрим функцию
 | (1.70.) |
и определим области однолистности этого отображения в пространстве. Как обычно, положим
где r , f действительные числа; y - комплексное.
Предположим, что n 1 и n 2 переходят в одну точку в пространстве (w )
Таким образом, область однолистности пространства (n ) не должна содержать точек, связанных соотношением
В пространстве (n
) - это точки, лежащие внутри или вне сферы
с выколотой осью.
Исследуем отображение при соблюдении этих ограничений
Проведем преобразование комплексных частей
Применим формулу Эйлера:
Проведем последовательно сечения сферы плоскостями, параллельными плоскости (z). Это плоскости y =const. Сначала положим y =0, тогда
Это прежняя функция Жуковского в плоскости (z). На рис.36 представлено отображение, осуществляемое этой функцией. Поверхность сферы сжимается в круг с двойной границей, который по диаметру перерезает выколотая ось. Покажем, что кривые C1, C2, C3, Ci при своем отображении не имеют точек пересечения в круге радиуса R=r получим комплекс
Преобразуем его по формуле Эйлера
Рис. 36. Отображение внешнего пространства сферы в пространство круга радиуса, равного радиусу сферы толщиной.
Если R2=R1, то одновременно должны выполняться два условия:
которые вытекали бы из равенства модулей комплексов. Но это не выполнимо. Аналогичная ситуация возникает, если предположить, что F1=F2 для этих кривых.
Таким образом, отображение плоскостей, секущих сферу, является однолистным. Выколотая ось также однозначно отображается в выколотую ось js .
Окружности радиуса корня из нуля отображаются в отрезки, дважды проходимые по линии Г4 (рис. 36).
Е. Профили Жуковского в пространстве.
Рассмотрим в пространстве (n ) два касающихся изнутри в точке x=a шара (рис. 37). Функция Жуковского отображает поверхность большого шара на поверхность, напоминающую тело дельфина или фюзеляж самолета
Рис. 37. Отображение пространства, заключенного между двумя сферами, в пространственный объем типа "Капля"
Плоскость
Q=0 переводит функцию в z - плоскость, так что получаем
отображение контура 
в контур С1, также лежащей в z
-плоскости.
Если рассматривать отображение плоскости, заданной углами f =0, f =p , то получим контур С. Система этих контуров и задает отображение (рис. 37).
9.3. Исследование поля критических температур перехода в сверхпроводящее состояние известных соединений.
Температурное поле перехода керамики в сверхпроводящее состояние, а также в проводящее состояние представлено на графиках рис 88-100 и прилагаемых к ним расчетным таблицам.
Основные
выводы из расчета и графического построения следующие. Сверхпроводящие керамики
существуют в интервале 
изменения стехиометрического коэффициента по кислороду. Рассмотрены керамики 
,
где М -символ редкоземельного элемента.
|
||