Предисловие Учебное пособие представляет собой расширенный конспект лекций по курсу «Физика», читаемого автором для студентов отделения математики механико-математического факультета Московского университета. Оно охватывает лишь часть курса, посвященную основам квантовой механики и читаемую в 9-ом семестре (курс заканчивается в том же семестре рассмотрением основ равновесной статистической механики). К этому времени студенты уже прослушали необходимые для построения математического аппарата квантовой механики курсы уравнений в частных производных, функционального анализа, теории групп, но не изучали общую физику. Учитывая это, мы уделяем главное внимание физическому содержанию теории, не останавливаясь на математических «тонкостях» и проблемах, хорошо изложенных в специальной литературе. Постулаты квантовой механики формулируются явно, при этом подчеркиваются их экспериментальные основания. Ввиду очень ограниченного объема курса мы рассматриваем лишь несколько фундаментальных точно решаемых задач квантовой механики: гармонический осциллятор, момент импульса (орбитальный и спиновый), атом водорода. Кратко излагаются принципы теории систем тождественных частиц.
Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади
с глубиной погружения
равна
, где
- плотность жидкости,
- ускорение свободного падения.
Найти силу давления
, испытываемую полукругом радиуса
, погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды
Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием
и высотой
, где
Равновесие электромагнитного излучения и вещества Экстремумы ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0):
. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
Рассмотрим специальное решение уравнения Шрёдингера для свободной
частицы в одномерном случае:
,
где
- функция, модуль которой имеет резкий максимум в некоторой точке
и быстро убывает при
. Такое решение называется волновым пакетом.
Волновая функция свободной частицы
Вероятностная интерпретация волновой функции
Фундаментальный оператор Гамильтона
Условия одновременной измеримости наблюдаемых
Если два оператора имеют общий полную систему собственных векторов, то они коммутирую
Основные постулаты квантовой механики
Пусть две наблюдаемых
и
не коммутируют. Тогда их коммутатор имеет вид:
,
где
- эрмитов оператор. Покажем, что дисперсии наблюдаемых в произвольном состоянии
удовлетворяют ограничению
.
Оно называется соотношением неопределенностей и получено впервые Гейзенбергом (W. Heisenberg) в 1927 г. для частного случая наблюдаемыхи
.
Изменение наблюдаемых со временем
Эволюция средних значений наблюдаемых
Переход к классическим уравнениям движения
Интегралы движения и симметрия в квантовой механике
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Осциллятор в классической механике
Гармоническим осциллятором (ГО) в классической механике называется система, описываемая гамильтонианом
.
Стационарные состояния осциллятора
Нормированные волновые функции
Алгебра гармонического осциллятора. Метод факторизации
Когерентные состояния гармонического осциллятора
Оператор момента импульса
Оператор момента импульса частицы определим, используя принцип соответствия, в виде
.
Спин уравнение паули
Введем векторный оператор спина
Уравнение Шрёдингера для частицы во внешнем электромагнитном поле
Движение в центрально-симметричном поле
Рассмотрим движение частицы в стационарном поле
Атом водорода
Электрон в поле кулоновского центра
Рассмотрим асимптотику ограниченного решения
Рассмотрим подробнее атом водорода
Тождественные частицы Принцип Паули
| |||