Волновые свойства электронов
И так Бор пришел к выводу о существовании дискретного множества стационарных состояний
атома с энергиями 
.
Далее он предположил, что излучение атома возникает
при его переходе из одного стационарного состояние 
в другое 
(с меньшей энергией). Частота соответствующей спектральной
линии определяется правилом, следующим из закона сохранения энергии:
.
Это и есть знаменитое правило частот Бора. В соответствии с гипотезой Эйнштейна
при переходе излучается фотон с энергией 
.
Применив правило частот к атому водорода, Бор получил формулу Бальмера, найдя при этом выражение для постоянной Ридберга через фундаментальные физические постоянные:
.
Вычисленное
значение 
прекрасно согласуется со значением, полученным из спектроскопических
измерений.
Дальнейшее развитие теории Бора потребовало найти методы квантования
систем с несколькими степенями свободы. Важный класс таких систем – квазипериодические
системы с разделяющимися переменными. В этом случае правила квантования применяются
к каждой независимой паре канонических переменных 
:
Таким образом, число вводимых квантовых чисел
равно числу степеней свободы 
. Условия квантования квазипериодических
систем были сформулированы независимо Вильсоном и Зоммерфельдом (W. Wilson, A.
Sommerfeld) в 1915-16 г. Применение этих условий к эллиптическим электронным орбитам
в атоме водорода дало известный результат Бора для энергии стационарных состояний
вследствие специфики кулоновского потенциала (совпадение периодов изменения разделяющихся
сферических координат 
, что приводит
к зависимости квантованных значений энергии только от суммы целых чисел 
).
(
), называются бозонами (фермионами) и подчиняются
статистике Бозе – Эйнштейна (Ферми – Дирака). 
) являются бозонами, частицы с полуцелым спином (
) – фермионами. 
), состоящее из двух частиц со спином 
, протона и нейтрона, является бозоном.
тождественных попарно взаимодействующих частиц массы 
во внешнем поле 
имеет вид: