Волновые свойства электронов
Теория Бора – Зоммерфельда оказалась не в состоянии объяснить обнаруженную тонкую структуру атомных спектров и была непоследовательной: она использовала как классические представления, так и чуждые ей квантовые. В частности, электрон считался классической частицей, но из всего множества возможных траекторий отбирались лишь те, которые удовлетворяли условиям квантования.
В
1923 г. Л. де Бройль (L. de Broglie) выдвинул гипотезу, что электрон (и другие
микрочастицы) не является классической корпускулой, но должен обладать также и
волновыми свойствами. Тем самым де Бройль обобщил понятие эйнштейновского корпускулярно-волнового
дуализма электромагнитного излучения. Согласно де Бройлю, частице с энергией 
и импульсом 
отвечает некоторая монохроматическая волна, частота и волновой
вектор которой связаны с
характеристиками частицы соотношениями
.
Они в точности совпадают с соотношениями Эйнштейна для фотона и световой волны. Следовательно, дебройлевская длина волны частицы
.
Правило квантования для одномерной частицы получает наглядную волновую интерпретацию:
,
т.е. на длине траектории должно укладываться целое число длин волн (ср. с известным из школьного курса условием образования стоячих волн на струне с закрепленными концами).
Гипотеза де Бройля вскоре получила блестящее
экспериментальное подтверждение: в 1927 г. Дэвиссон и Джермер (C. Davisson, L.
Germer) наблюдали дифракцию пучка электронов на монокристалле никеля (периодической
атомной структуре – аналоге используемой в оптике дифракционной решетке). Для
использованных ими нерелятивистских электронов, получивших кинетическую энергию
при прохождении разности потенциалов 
, получаем
.
Отсюда,
выражая в вольтах, получим длину электронной волны
.
При
В находим 
см,
что отвечает длине волны мягкого рентгеновского излучения и среднему межатомному
расстоянию в кристаллической решетке. Поэтому при этих условиях дифракция электронов
должна быть аналогична открытой еще в 1912 г. дифракции рентгеновских лучей, что
и наблюдалось в действительности.
(
), называются бозонами (фермионами) и подчиняются
статистике Бозе – Эйнштейна (Ферми – Дирака). 
) являются бозонами, частицы с полуцелым спином (
) – фермионами. 
), состоящее из двух частиц со спином 
, протона и нейтрона, является бозоном.
тождественных попарно взаимодействующих частиц массы 
во внешнем поле 
имеет вид: