Система двух электронов
Волновая функция двухэлектронной системы удовлетворяет условию антисимметрии:
.
Определим сначала оператор спина системы:
.
Здесь индексы (1) и (2) нумеруют спиновые подпространства
отдельных электронов в спиновом пространстве системы 
. В каждом из подпространств 
имеем базисные векторы:
,
которые
являются собственными векторами операторов 
и 
. В пространстве 
в качестве базиса можно выбрать 4 вектора
.
Удобно выбрать новый базис, состоящий из собственных векторов операторов квадрата
полного спина и его проекции на ось 
:
Замечание. Мы используем здесь сокращенную запись операторов двухчастичной системы. Точная запись, например, оператора проекции спина такова:
.
Легко проверить, что указанный базис имеет вид:
Смысл
индексов векторов 
таков:
.
Прямая проверка проводится с помощью формул:
Например,
Следовательно,
.
С точки зрения теории групп мы доказали, что
.
Это
частный случай теоремы о разложении прямого (тензорного) произведения неприводимых
представлений 
группы 
в прямую сумму неприводимых представлений:
.
Базисные векторы
в пространстве представления 
размерности 
имеют вид:
.
Они
являются собственными векторами операторов момента 
и 
(см. п. 7). Коэффициенты разложения 
называются коэффициентами Клебша –
Гордана. Мы нашли их явный вид для частного случая 
.
Введя дискретные спиновые
переменные для электронов 
и 
, запишем найденные базисные векторы в виде функций двух переменных:
При
этом три симметричные функции 
образуют базис в пространстве 
, а антисимметричная функция 
- в 
.
. Примеры решения и
офомления задач контрольной работы по высшей математике