Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

Интегральное исчисление в экономике

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемы предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек.[6]

Пример. Дана функция предельных издержек МС = Зq2 – 48q + 202, 1 ≤ q ≤ 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычис­лить издержки в случае производства 10 единиц товара, если из­вестно, что издержки для производства первой единицы товара со­ставили 50 руб.[4]

Решение. Функцию издержек находим интегрированием:

C(q ) = ,

где константа Со находится из данного условия С( 1) = 50, так что С0 = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, полу­чим функцию издержек

C(q) = q.

Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение

С(10) = 670.

Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение  дисконтированной стоимости денежного потока.

Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, ... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:

R(1)(1 + p), R(2)(1 + p), R(3)(1 + p), … .

Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:

П = ,

где п - общее число периодов времени.

В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ≤ t ≤ Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денеж­ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве­личины П изменим формулу П = .А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следую­щий вид:

П = .

Пример. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. [4]

Решение. По формуле П =  имеем

П = .

Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:

s = -0,05t, t = -20s, dt = -20ds.

При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s = 0, s = -1. Имеем

-

П = -20(- 400s2 – 400s + 5)e = 20  (- 400s2 – 400s +5)eds.

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = eds, v= е. Поэтому

П = 20 ((-400s2 - 400s + 5)е + е(800s + 400)ds .

В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто­рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем

П = 20 (5 – 5e + (800s + 400)e800eds) =

= 20(5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400)e - 1 - 800 + 800е - 1) =

 = 20(1195е- 1 -395).

Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).

Далее рассмотрим некоторую модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой моде сформулированы ниже.

1 . Всякое изменение величины скорости денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.

2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения

3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости това-которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств К с коэффициентом  пропорциональности р, k = рК. Дифференцируя по t, получим

.

В модели Домара предполагается, что весь экономический по­тенциал полностью используется, иными словами, У = к. Диффе­ренцируя по t, получим

.

Подставляя  и  в , имеем

 = pI, .

Чтобы найти функцию I(t) из уравнения  = pI, , проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим

, или ln|I(t)| = pst,

Откуда ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):

I(t) = I(0)e,

где I(0) – это скорость денежного потока в начальный момент времени.

Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле

I(t) = I(0)e

Машиностроительное черчение выполнение четежей