Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

 

Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f(х )≥0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу

Если же f(x) ≤ 0 на [а; b] то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой

 или

 

Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.

Рис 9

 
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис 9) . [1]

Решение. Пользуясь формулой , нахо­дим искомую площадь

S =

Рис 10

 
Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии   (рис 10). [1]

Решение. Разбиваем сег­мент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы

 и  , имеем, что искомая площадь

Полярные координаты.

 Пусть требует­ся определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лу­чами  = ,  =  и кривой АВ (рис 11), заданной в полярной системе координат уравнением r = r (), где r () — функция, непрерывная на сегменте [; ].

Рис 11

 

Рис 12

 
Разобьем отрезок [; ] на п частей точками  = о<1 < ...<  < =  и положим: Δ =  —  k = 1, 2, ..., n. Наи­большую из этих разностей обозначим через : = max Δ. Разо­бьем данный сектор на п частей лучами  =  (k=1, 2, ..., п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(), где .

Тогда сумма  - приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г = a(1+соs) (рис 12). [7]

Решение. Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле  получаем:

Машиностроительное черчение выполнение четежей