Механические приложение определенного интеграла
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием
переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа,
произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение
х = b (а <bЬ), находится по формуле
A = 
Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пру-'—' жину
на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна
этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности.
Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х =
0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно,
F =10000х.
Искомая работа на основании формулы A = 
равна
A = 
Пример. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара
высоты Н м и радиусом основания R м (рис 13).[5]
Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие
тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в
резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края
резервуара) различных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала).
Введем систему координат.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости
толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т. е. А = А(х),
где (0 ≤ х ≤ Н)( A(0) = 0, A(H) = А0).
2. Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину
Δх = dx, т. е. находим дифференциал dА функции А(х).
Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится
на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр — вес
этого слоя; он равен g
АV, где g — ускорение свободногопадения,
— плотность жидкости, dv — объем “элементарного” слоя
жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g
. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен
, где dx— высота цилиндра (слоя),
— площадь его основания,
т. е. dv =
.
Таким образом, dр =
. и 
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
A