Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

 

 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М), М2(х2;y), … , M(x;y) соответственное массами m,m, … , m„.

Статическим моментом SХ системы материальных точек относи­тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):

 Аналогично определяется статистический момент S этой системы относительно оси Oy: S= .

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри­вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова­ние.

Пусть у =f/(х) (a ≤ х ≤ b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью  ( = const).

Для произвольного х  [а;b] на кривой АВ найдется точка с коорди­натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер­жащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS (“элементарный момент”) будет равен , т.е. .

Отсюда следует, что статический момент SХ кри­вой АВ относительно оси Ох равен

Аналогично находим S:

Статические моменты SХ и SУ кривой позволя­ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста­тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо­значим через С(хс;ус) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства  и  или  и . Отсюда ,

или

 

Пример. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x + y= R2, расположенной в первой координатной четверти (рис 16).[5]

Рис 16

 
Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна , т.е. . Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть  и , то ()

.

Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то хс = ус = Итак, центр тяжести имеет координаты (;).

Машиностроительное черчение выполнение четежей