, где 
– функция координат и времени, 
и 
константы, называется волновым уравнением.
Вот чисто математическая проблема:
уравнение вида , где – функция координат и времени, и константы, называется волновым уравнением.
Не будем решать уравнение в частных производных, а я сейчас предъявлю одно важное частное решение, и будет доказано, что оно действительно является решением.
Утверждение. Функция вида 
удовлетворяет волновому уравнению (частное решение).
Второе правило
Кирхгофа (“правило контуров”): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном
в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений
IiRi равна алгебраической сумме ЭДС в данном контуре: Задав для определенности
направление тока I контуре по часовой стрелке, можно записать закон Ома для
участка цепи, содержащего ЭДС: j1 - j2
= I×(R1 + R2) - e2.
Частное решение, вообще-то, угадывается и проверяется методом тыка. Вот, мы сейчас подставим это решение в уравнение и проверим. Что уравнение утверждает? Что вторая производная по времени от этой функции совпадёт с пространственными производными.
Пишем: 
, 
.
Вот чем замечательна комплексная экспонента: можно было бы записать действительные синусы и косинусы, но дифференцировать экспоненты гораздо приятнее, чем синусы и косинусы.
Дальше: 
.
, значит, 
. Опять замечательная вещь: оператор 
действует на функцию 
, эта функция просто умножается
на 
, тогда немедленно
находим повторное действие оператора: 
.
Подставим в исходное уравнение: 
, отсюда получаем 
.
Мораль такая: функция вида 
удовлетворяет нашему уравнению, но только
при таком условии:
.
Это факт математический. Нам остаётся сообразить теперь, что эта функция изображает.
Если перейти в действительную область, то есть взять
сужение этого множества функций на класс действительных функций, это будет решение
такого типа: 
. Чтобы
не мучиться с тремя переменными, можно это дело упростить: пусть 
, тогда 
. Заметим, что это никакое не
ограничение общности, ось х мы всегда можем выбрать вдоль вектора . Мы получили функцию от двух
переменных: 
. А теперь
будем смотреть, что эта функция представляет.
Делаем мгновенную фотографию: фиксируем момент времени
и смотрим пространственную
конфигурацию.
Период синуса 2π, ясно, когда х меняется
на λ – длину волны (пространственный период), то синус должен
измениться на 2π, мы имеем такое соотношение: 
. Мы проинтерпретировали константу k – волновое число, а вектор – волновой вектор.
Эта мгновенная фотография показывает, как функция зависит от пространства.
Теперь будем следить за временным изменением, то есть
сидим в точке х и смотрим, что делается с функцией со временем. Фиксируем 
, тогда 
, значит, в фиксированной точке
опять синусоидальная функция времени. Мы имеем, поскольку период синуса 2π,
, то есть мы проинтерпретировали
константу , называется частотой.
И остаётся, наконец, последнее: запустить обе переменные λ и t, что тогда эта функция будет изображать? Тоже легко понять.
,
то 
, а 
означает в свою очередь, что 
. Для событий, для которых координата
– линейная функция времени 
, функция всё время одна и та же. Это можно проинтерпретировать
так: если мы будем бежать вдоль оси х со скоростью 
, то мы будем всё время видеть
перед собой одно и тоже значение этой функции.
 |
Функция, которую мы получили – это синусоидальная волна, бегущая вправо вдоль оси х.
Если мы запустим х и t
одновременно, то окажется, что эта синусоида бежит вдоль оси со скоростью , вот такое решение мы получили,
ну и тогда понятно, почему это называется волной.
Вот то, что я говорил, что, если мы будем бежать с такой скоростью, мы будем видеть одно и то же значение функции, наглядно:
волны на воде. Для волны на воде – это отклонение волны от горизонтального уровня. Когда вы будете бежать вдоль этой волны со скоростью её распространения, то вы всё время будете видеть перед собой одну и ту же высоту над поверхностью воды.
Другой пример – звуковая волна.
Имеем синусоидальную звуковую волну. Как её создать? Источник колеблется с одной частотой (такой гул на одной частоте мы редко воспринимаем, он, кстати, очень раздражает). Если идёт такая волна определённой тональности, то, когда вы стоите, у вас в ухе давление со временем меняется и создаёт силу, которая давит на перепонку в ухе, колебания перепонки передаются в мозги, с помощью там разных передаточных устройств, и мы будем слышать звук. А что будет, если вы будете бежать вдоль волны со скоростью её распространения? Будет постоянное давление на перепонку и всё, не будет никакого звука. Правда, пример гипотетический, потому что, если в воздухе бежать со скоростью звука, то у вас будет так свистеть в ушах, что вам не будет не до восприятия этой струны.
Волна бежит со скоростью 
, но у нас такое соотношение: 
. Мы видим, что скорость – это
та константа, которая стоит в уравнении.
Решением волнового уравнения является синусоидальная волна, бегущая со скоростью с.
А теперь вернёмся к уравнениям Максвелла. Мы там получили,
что 
. Для магнитного
поля аналогично. Такая функция 
удовлетворяет этому уравнению. При условии, что
. Значит, должны быть
электромагнитные волны, распространяющиеся с такой скоростью 
. И вот тут уже круг замкнулся.
Максвелл получил волновое уравнение и определил скорость волны, а к тому времени
было известно экспериментальное значение скорости света, и обнаружилось, что эти
скорости равны.
[an error occurred while processing this directive]
|
||