Электромагнетизм примеры решения задач, основные формулы

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

ЗАДАНИЕ №14

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления.

Подробно об этом можно прочесть в [1], гл.11, [4] гл.5.

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  для  и по результатам исследования построить ее график.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке[a;b].

Для исследования функции используется общая схема исследования функции.

Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .

Найти точки пересечения функции  с осями координат Оx и Oy.

Найти точки разрыва и определить тип.

Установить, является ли функция  четной, нечетной и периодической.

Найти асимптоты графика функции .

Найти , определить точки экстремумов  и интервалы возрастания >0) и убывания<0) графика функции .

Найти , определить точки перегиба (=0) и интервалы выпуклости (<0) и вогнутости (>0) графика функции .

По результатам исследования построить график функции .

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [a,b].

Найти критические точки функции  =0 или не существует).

В каждой критической точке определить знак производной  слева и справа. Если  меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция  имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.

Вычислить значения функции  в точках экстремума и при x=a, x=b.

Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [a,b].

Пример 1. Пусть .

Решение:

Функция  определена и непрерывна в интервале 0<x<+∞, т.к. область допустимых значений для функции y=lnx:

В точке  график  пересекает ось Ox. С осью Oy график функции  не пересекается.

В граничной точке x=0 области допустимых значений функция  имеет бесконечный разрыв II рода, потому что

.

Функция  является четной, нечетной или периодической, если выполняется одно из равенств , , , где T>0 –период.

Заданная функция не является четной или нечетной, т.к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно,  является функцией общего вида.

Так как в точке x=0  имеет бесконечный разрыв, то прямая x=0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты .

Поэтому  (ось Ox) есть горизонтальная асимптота (y=0)

Находим  и критические точки:

  1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e) и (e,∞), на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e), например, >0; возьмем точку в (e,∞), например,  <0.

Составим таблицу

(0,e)

e≈2.72

(e,+∞)

+

0

-

Возрастает

Убывает

Находим вторую производную , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу

-

0

+

График

Выпуклый

Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .

На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по оси Oy, равный 0.1.

На отрезке [1; 5] функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функции  в точке x=1 и x=5: y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .

Решите самостоятельно следующие задачи:

14.1. Определите интервалы возрастания и убывания функции .

14.2. Найти экстремум функции  и определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-2,4].

14.3. Найти асимптоты графика функции .

14.4. Найти асимптоты кривой .

14.5. Исследовать функцию .

Машиностроительное черчение выполнение четежей