Электромагнетизм примеры решения задач, основные формулы

ЗАДАНИЕ №14

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления.

Подробно об этом можно прочесть в [1], гл.11, [4] гл.5.

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  для  и по результатам исследования построить ее график.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке[a;b].

Для исследования функции используется общая схема исследования функции.

Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .

Найти точки пересечения функции  с осями координат Оx и Oy.

Найти точки разрыва и определить тип.

Установить, является ли функция  четной, нечетной и периодической.

Найти асимптоты графика функции .

Найти , определить точки экстремумов  и интервалы возрастания >0) и убывания<0) графика функции .

Найти , определить точки перегиба (=0) и интервалы выпуклости (<0) и вогнутости (>0) графика функции .

По результатам исследования построить график функции .

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [a,b].

Найти критические точки функции  =0 или не существует).

В каждой критической точке определить знак производной  слева и справа. Если  меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция  имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.

Вычислить значения функции  в точках экстремума и при x=a, x=b.

Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [a,b].

Пример 1. Пусть .

Решение:

Функция  определена и непрерывна в интервале 0<x<+∞, т.к. область допустимых значений для функции y=lnx:

В точке  график  пересекает ось Ox. С осью Oy график функции  не пересекается.

В граничной точке x=0 области допустимых значений функция  имеет бесконечный разрыв II рода, потому что

.

Функция  является четной, нечетной или периодической, если выполняется одно из равенств , , , где T>0 –период.

Заданная функция не является четной или нечетной, т.к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно,  является функцией общего вида.

Так как в точке x=0  имеет бесконечный разрыв, то прямая x=0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты .

Поэтому  (ось Ox) есть горизонтальная асимптота (y=0)

Находим  и критические точки:

  1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e) и (e,∞), на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e), например, >0; возьмем точку в (e,∞), например,  <0.

Составим таблицу

(0,e)

e≈2.72

(e,+∞)

+

0

-

Возрастает

Убывает

Находим вторую производную , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу

-

0

+

График

Выпуклый

Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .

На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по оси Oy, равный 0.1.

На отрезке [1; 5] функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функции  в точке x=1 и x=5: y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .

Решите самостоятельно следующие задачи:

14.1. Определите интервалы возрастания и убывания функции .

14.2. Найти экстремум функции  и определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-2,4].

14.3. Найти асимптоты графика функции .

14.4. Найти асимптоты кривой .

14.5. Исследовать функцию .

Машиностроительное черчение выполнение четежей